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Montag, 05. Dezember 2011
Corioliskraft Von gkemme, 16:47
Eine Corioliskraft ist eine Trägheitskraft bei Kreisförmiger Bewegung, die zusätzlich zur Zentrifugalkraft wahrnehmbar ist. Bewegt sich eine Masse auf einem rotierenden Objekt - z.B. kreisförmiger Platte - radial nach außen so tritt eine Corioliskraft auf, deren Richtung rechtwinklig zur Bewegung der Masse und rechtwinklig zur Drehachse des rotierenden Objektes ist.
Herleitung der Formel der Corioliskraft Bearbeiten
Bewegt sich eine Masse m mit der Geschwindigkeit v radial nach außen, so erhöht sich die rechtwinklig wirkende Umfangsgeschwindigkeit U, da der Radius r größer wird. Die Erhöhung der Geschwindigkeit setzt eine Beschleunigung a voraus. Die aufgrund der Beschleunigung zusätzlich zurückgelegte Wegstrecke s gehört zu einer beschleunigten Bewegung und somit gilt: s((t)=a/2*t², d.h. a=2*s/t² und deshalb kann nunmehr mit der mit der Formel für die Beschleunigungskraft: F=m*a gearbeitet werden, so dass sich F=m*a=m*2*s/t² ergibt. Gleichzeitig stellt die Wegstrecke s ein Stück des Kreisumfanges U=2*pi*r dar, wobei dieser Bruchteil des Umfanges durch t/T ausgedrückt werden kann, mit T ist Zeit für eine Umdrehung. Insofern kann der aufgrund der Beschleunigung zurückgelegte Weg s auch mit s(t)=U*t/T=2*pi*r*t/T geschrieben werden. Nach diesen Voraussetzungen kann die Herleitung notiert werden:
Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema Äquivalenz von Masse und Energie. Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.
Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:
Der Formelbuchstabe Wbezeichnet Arbeit oder Energie entsprechend wie der Formelbuchstabe E.
E_0 = m_0 * c² ist die Ruheenergie
Ekin = m * c² – m_0 * c² ist die Beschleunigungs-Energie
Bekannt geworden ist der Begriff "Zeitdilatation" durch den Ausspruch, dass bewegte Uhren langsamer gingen. Nachfolgend einmal ein Rechenbeispiel zur Zeitdilatation:
Gegeben:
x_1=10^9 m, x_2=10^10 m, v=0,75*c, t_1=6,6..., t_2=66,6...
Gesucht:
t'_1, t'_2, delta t, delta t'
Die Transformation der Zeitkomponente geschieht nach der Formel:
t'=(t-x*v/c²)/sqrt(1-v²/c²)
Eingestzt für t'_1:
t'_1=(6,6...-10^9*0,75*c/c²)/sqrt(1-0,75²*c²/c²)=6,299407883 s
Eingesetzt für t'_2:
t'_2=(66,6...-10^10*0,75*c/c²)/sqrt(1-0,75²*c²/c²)=62,99407882 s
Berechnung delta t':
delta_t'=t'_2-t'_1=62,99407882-6,299407883=56,69467094s
Berechnung delta_t:
delta_t=t_2-t_1=66,6...-6,6...=59,9..s
Nach dieser Rechnung ist die verstrichene Zeit im bewegten Bezugssystem kürzer als im Ruhesystem, die bewegte Uhr ist also - rechnerisch - langsamer gegangen.
Geschwindigkeit Lichtstrahl bei Lorentz-Transformation Von gkemme, 23:20
Zentral für das Verständnis der SRT ist das Zweite Postulat, nach welchem die Geschwindigkeit eines Lichtstrahls invariant ist, d.h. die Relativ- oder Differenzgeschwindigkeit zu anderen Bezugssystemen soll nach dieser Auffassung immer Lichtgeschwindigkeit sein. Nachfolgend soll einmal kurz anhand eines Beispiels rechnerisch gezeigt werden, dass die Geschwindigkeit des Lichtstrahls, wenn man die Raumzeit, d.h. Wege und Zeiten, in die Formeln einsetzt, tatsächlich Lichtgeschwindigkeit im Ruhesystem BS und im Bewegtsystem BS' beträgt.
Nimmt man jetzt also ein Beispiel mit den Wegmarkierungen x1=300000km und x2=900000km und lässt in diesem Ruhesystem BSc=3*10^5km/s passieren, dann erhält man die Zeit t1=1s und t2=3s. Als Rückrechnung könnte jetzt auch nocheinmal c=(x2-x1)/(t2-t1)=9*10^5-3*10^5)/(3-1)=6*10^5/2=3*10^5km/s alles klar.
Rechnerisch kann nunmehr die Geschwindigkeit des Lichtstrahls im mit v=10^5km/s bewegten Bezugssystem BS' errechnet werden. Nach den obigen Formeln ergeben sich folgende Werte:
Somit kann die Geschwindigkeit c' im bewegten Bezugssystem BS' errechnet werden: c'=(x2'-x1')/(t2'-t1')=[9*10^5/sqrt(2)-3*10^5/sqrt(2)]/[3/sqrt(2)-1/sqrt(2)]=6*10^5/2=3*10^5km/s
Somit ist in diesem Beispiel die Geschwindigkeit eines überholenden Lichtstrahls in dem bewegten und ruhenden Bezugssystem als gleichschnell berechnet, d.h. c=c' - und dies ist dann problematisch, da die Relativ- oder Differenzgeschwindigkeit bei einer Überholung unterschiedlich schnell bewegter Objekte auch unterschiedlich ist.
Versuchsschaltung Überlichtgeschwindigkeit Von gkemme, 19:22
Wie Bergsteiger-Mannschaften vor dem bislang unbesteigbaren Gipfel steht die physikalische Forschung vor der Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit. Dann irgendwann setzt sich eine Kolonne in Bewegung und probiert einen neuen Aufstieg. Niemand weiß, ob die Expedition erfolgreich sein wird. Nachfolgend ein weiterer Versuch auf dem Wege zur eventuellen Überlichtgeschwindigkeit.
Der Grundgedanke ist, dass ein Hochspannungssignal sich eventuell schneller fortpflanzt als ein Niederspannungssignal. Um dies nachzuweisen wird einerseits ein Hochspannungssignal über eine weite Strecke übertragen und parallel dazu ein Niederspannungssignal. Die Hochspannung wird durch Aufladen einer Kondensatoren-Batterie zur Verfügung gestellt. Das Niederspannungssignal wird einem Spannungsteiler am Anfang der Übertragungsstrecke entnommen. Am Ende der Übertragungsstrecke wird auch das Hochspannungssignal per Spannungsteiler in eine Niederspannung umgewandelt, so dass die beiden Signale dieser Übertragungskanäle zwei Relais ansteuern können, die bewirken, dass eine Lampe signalisiert, welche Signalart schneller war. Kommt ein Signal bei einem Relais an, so wird durch eine Schaltung die Lampeneinheit des anderen Kanals außer Funktion gesetzt. Man wird sehen, ob das Hochspannungssignal schneller ist und ob die Schultung "funzt".
Relativistische Addition aus Matrizenmultiplikation Von gkemme, 23:05
Die "Relativistische Addition" stellt eine Verknüpfung dar, die aus zwei LTs eine neue mit denselben Eigenschaften macht, wobei sich die Geschwindigkeit entsprechend ändert.
Diese Verknüpfung kann auch durch eine Matrizenmultiplikation realisiert werden.
Die Übertragung von Abständen aus einem Bezugssystem in ein anderes per LT wird meistens so veranschaulicht:
In einem Ruhesystem BS wird ein Abstand mit x gemessen. In BS bewegt sich ein Bezugssystem BS' mit der Geschwindigkeit v und misst in diesem System den Abstand mit x'. Bei der Verknüpfung von LTs stellt man sich nunmehr ein weiteres Bezugssystem BS'' vor, welches sich mit der Geschwindigkeit v1 in BS' bewegt.
Will man jetzt die Geschwindigkeit v2 finden, mit welchem sich BS'' im Ruhesystem BS bewegt, so kann man die Formel wie folgt herleiten:
Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend Y2 und Y2*ß per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden.
Schreibweise:
(Zeilenzahl, Spaltenzahl)-Matrix_A,
somit
(m, n)-Matrix_A oder (n, p)-Matrix_B
Voraussetzung ist, dass Spaltenzahl des ersten Faktors gleich Zeilenzahl des zweiten Faktors:
(m, n)-Matrix_A * (n, p)-Matrix_B = (m, p)-Matrix_C
Die Multiplikation ist möglich, wenn die Spaltenzahl des ersten Faktors gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors ist. In diesem Fall also
2x2-Matrix * 2x1-Matrix = 2x1-Matrix'
Schreibweise mit gamma=Y=1/sqrt(1-v²/c²) und Beta=ß=v/c:
c*t'= y*c*t-y*ß*x
x'=-y*ß*c*t+y*x
y'=y
z'=z
Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT von R^4 nach R^4, welche den Spaltenvektor (c*t,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z') abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4x4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor (c*t,x,y,z), d.h. einer 4x1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z'), d.h. einer 4x1-Matrix, entspricht.
Zeitmessgeräte im Test auf Störanfälligkeit Von gkemme, 19:44
Die Relativitätstheorie von Albert Einstein befindet sich nach wie vor in der Diskussion. Ein Teil dieser Theorie wird als Zeitdilatation bezeichnet und wurde von den Physikern Hafele und Keating 1971 zum Gegenstand eines berühmten Experimentes gemacht, in welchem Atomuhren mit Flugzeugen um den Erdball geflogen wurden. Etwas Kritik entstand bezüglich der Empfindlichkeit solcher Uhren, so dass Anlass bestand, die Störanfälligkeit "normaler" handelsüblicher Uhren einmal im Test zu untersuchen. Hierzu wurde eine Stoppuhr in einer Trockenzentrifuge geschleudert und danach mit der zweiten Uhr verglichen. Resultat: Beide Uhren stimmten auf 1/100-Sekunde überein. Danach fand dann noch ein Test mit einem Magneten statt, welcher das gleiche Ergebnis brachte.
Fazit: Technisch einwandfrei konstruierte Uhren sind gegen Störungen wie Beschleunigung und Magnetismus völlig immun, so dass man davon ausgehen kann, dass die Genauigkeit von Uhren auch durch die Beförderung mit einem Flugzeug nicht beeinträchtigt wird.
Die Zeitdilatation wird oftmals über das Gedankenexperiment einer querbewegten Lichtuhr hergeleitet. Im Bezugssystem I' bewegt sich ein Lichtstrahl zwischen zwei Spiegeln hin und her. Der Weg zwischen den beiden Spiegeln beträgt somit c*t'. Während sich der Lichtstrahl vom unteren zum oberen Spiegel bewegt, gleitet die Lichtuhr waagerecht im Bezugssystem I mit der Geschwindigkeit v und legt somit einen Weg von v*t zurück. Rechnerisch ergibt sich somit für die Diagonale, welche die Bewegung des Lichtstrahls im Ruhesystem I zeigt, nach dem Satz von Pythagoras sqrt[(v*t)^2+(c*t')^2].
Anmerkung: Eigentlich käme hier bei t=t' eine Geschwindigkeit größer als Lichtgeschwindigkeit heraus.
Allerdings wird in der Relativitätstheorie nunmehr die Lichtgeschwindigkeit als konstant in allen Bezugssystemen angenommen, so dass es nunmehr heisst: c*t=sqrt[(v*t)^2+(c*t')^2]
c^2*t^2=v^2*t^2+c^2*t'^2
(c^2-v^2)*t^2=c^2*t'^2
t^2*(c^2-v^2)/c^2=t'^2
t^2*(1-v^2/c^2)=t'^2
t^2=t'^2/(1-v^2/c^2) t=t'/sqrt(1-v^2/c^2)
Lorentztransformation - Herleitung Von gkemme, 23:10
Ein Lichtstrahl bewegt sich in I und es gilt
X = c*t
Im System I' findet sich dann folgende Gleichung für den Lichtstrahl:
Der Lichtstrahl bewegt sich also im System I' nur mit der Geschwindigkeit c - v. Das steht im Widerspruch zum Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen. Es muss nach dieser Betrachtungsweise also eine Korrektur stattfinden. Als Resultat ergibt sich die Lorentz-Transformation.
Dazu wird folgender Ansatz verfolgt. Es wird ein Korrekturfaktor gamma eingeführt, in der Form:
X' = γ*(X - v*t)
Da sich das System I' mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegen soll, gilt für
X' = 0
die Gleichung:
X = v*t
Dann gilt ebenfalls die Gleichung:
X = γ*(X' + v*t')
Somit besteht die Aufgabe der Herleitung daraus γ zu bestimmen.
Ein Lichtstrahl muss sich nach dieser Betrachtungsweise im System I und I' jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Aus
Wenn eine Taube mit 20 km/h fliegt, sich auf einen LKW setzt, der 40 km/h fährt, und dann wieder vom Verdeck des Fahrzeuges abhebt und wie zuvor weiter fliegt:
Mit welcher Geschwindigkeit fliegt die Taube nach ihrem Abflug vom LKW? Sie fliegt mit 20 km/h
Wenn ein Auto im Stand hupt, mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Schallwellenfront? Mit 334 m/s
Wenn sich dieses hupende Auto dann mit 40 m/s bewegt, mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Schallwellenfront? Mit 334 m/s
Wenn ein Schwimmer, der in stehendem Gewässer mit 5 km/h schwimmt, von einem Boot springt, das sich mit 10 km/h bewegt, wie schnell schwimmt dann der Schwimmer? Mit 5 km/h
Wenn ein Torpedo, der alleine im Wasser 40 km/h schnell läuft, von einem Schnellboot, welches 70 km/h fährt, ins Wasser gelassen wird, wie schnell bewegt sich der Torpedo?
Mit 40 km/h
Wenn sich ein Lichtstrahl unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle mit konstant 3*10^8 m/s bewegen soll, dann kann man davon ausgehen, dass ein Medium vorhanden ist, in welchem er sich mit der Geschwindigkeit bewegt, wie er sich immer in diesem Medium bewegt, d.h. es existiert keine Beibehaltung des alten Bewegungszustandes der Lichtquelle! Dies wäre ein starkes Argument für das Vorhandensein eines Lichtäthers
Koordinatentransformation mit Entfernungsmessung per Lichtstrahl Von gkemme, 19:55
In einem System I mit den Größen X und t bewegt sich ein Maßstab I' mit der Geschwindigkeit v, wie folgt: Er startet bei Aussendung eines Lichtstrahls vom Objekt A aus zum Zeitpunkt t=0 und stoppt beim Auftreffen des Lichtstrahls auf den Ursprung von I' zum Zeitpunkt t=t. Somit ist:
X = X' + v*t
X = c*t + v*t
X = (c + v)*t
Die Entfernung X ist somit einerseits durch den Lichtstrahl mit der Geschwinidigkeit c und andrerseits durch die Bewegung des Maßstabs I' mit der Geschwindigkeit v überbrückt worden, wobei der Term (c + v) auf "Überlichtgeschwindigkeit" hinweist.
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In einem System I' mit den Größen X' und t' bewegt sich ein Maßstab I mit der Geschwindigkeit v, wie folgt: Er startet bei Aussendung eines Lichtstrahls vom Objekt A aus zum Zeitpunkt t=0 und stoppt beim Auftreffen des Lichtstrahls auf den Ursprung von I zum Zeitpunkt t'=t'. Somit ist: X' = X - v*t'
X' = c*t' - v*t'
X' = (c - v)*t'
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