Lorentztransformation - Herleitung
Von gkemme, 23:10

Ein Lichtstrahl bewegt sich in I und es gilt

X = c*t

Im System I' findet sich dann folgende Gleichung für den Lichtstrahl:




Der Lichtstrahl bewegt sich also im System I' nur mit der Geschwindigkeit c - v. Das steht im Widerspruch zum Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen. Es muss nach dieser Betrachtungsweise also eine Korrektur stattfinden. Als Resultat ergibt sich die Lorentz-Transformation.
Dazu wird folgender Ansatz verfolgt. Es wird ein Korrekturfaktor gamma eingeführt, in der Form:

X' = γ*(X - v*t)

Da sich das System I' mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegen soll, gilt für

X' = 0

die Gleichung:

X = v*t

Dann gilt ebenfalls die Gleichung:

X = γ*(X' + v*t')




Somit besteht die Aufgabe der Herleitung daraus γ zu bestimmen.
Ein Lichtstrahl muss sich nach dieser Betrachtungsweise im System I und I' jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Aus

X = c*t

folgt

X' = c*t'

X' = γ*(x - v*t) = γ*(c*t - v*t) =
= γ*t*(c - v) = γ*X/c * (c - v) =
= γ*x/c *c(1 - v/c) ==>
==> X' = γ*X*(1 - v/c)

Entsprechend kann die Ausbreitung des Lichtstrahls in I betrachtet werden:

X = γ*(x' + v*t') = γ*(c*t' - v*t') =
= γ*t'*(c + v) = γ*X'/c * (c + v) =
= γ*x'/c *c(1 - v/c) ==>
==>X = γ*X'*(1 - v/c)

Aus
X'*X
folgt:

X'*X=γ*x(1-v/c)*γ*x'(1 +v/c)=
=γ²*X*X'*(1 - v²/c²)

Also ist der Korrekturfaktor γ:

  γ = 1/sqrt(1 - v²/c²)

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