Relativistische Addition aus Matrizenmultiplikation
Von gkemme, 23:05

Die "Relativistische Addition" stellt eine Verknüpfung dar, die aus zwei LTs eine neue mit denselben Eigenschaften macht, wobei sich die Geschwindigkeit entsprechend ändert.

Diese Verknüpfung kann auch durch eine Matrizenmultiplikation realisiert werden.

 Die Übertragung von Abständen aus einem Bezugssystem in ein anderes per LT wird meistens so veranschaulicht:

In einem Ruhesystem BS wird ein Abstand mit x gemessen. In BS bewegt sich ein Bezugssystem BS' mit der Geschwindigkeit v und misst in diesem System den Abstand mit x'. Bei der Verknüpfung von LTs stellt man sich nunmehr ein weiteres Bezugssystem BS'' vor, welches sich mit der Geschwindigkeit v1 in BS' bewegt.

Will man jetzt die Geschwindigkeit v2 finden, mit welchem sich BS'' im Ruhesystem BS bewegt, so kann man die Formel wie folgt herleiten:

 

L: (c*t,x) -> L(v)=(c*t‘,x‘)=2x2-Matrix_LT(v)*(c*t,x)

L1: (c*t',x') -> L(v1)=(c*t‘',x‘')=2x2-Matrix_LT(v1)*(c*t',x')

 

Nach Einsetzung ergibt sich:

 L2: (c*t,x) -> L(v2)= 2x2-Matrix_LT(v1)*2x2-Matrix_LT(v)*(c*t,x)

Die konkrete Matrizenmultiplikation :

 

 

C*t’’=Y*Y1*(1+ß*ß1)*c*t-Y*Y1*(ß+ß1)*x

X’’=-Y*Y1*(ß+ß1)*c*t+Y*Y1*(1+ß*ß1)*x

 

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend Y2 und Y2*ß per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden.

c*t''= y2*c*t-y2*ß2*x

x''=-y2*ß2*c*t+y2*x

Somit würde dann gelten:

Y2*ß2=Y*Y1*ß+Y*Y1*ß1=Y*Y1*(ß+ß1)

Y2=Y*Y1+Y*Y1*ß*ß1=Y*Y1*(1+ß*ß1)

Bildet man den Quotienten:

Y2*ß2/Y2=ß2=Y*Y1*(ß+ß1)/Y*Y1*(1+ß*ß1)=(ß+ß1)/(1+ß*ß1)

Somit:

V2/c=(v/c+v1/c)/(1+v/c*v1/c)=(v+v1)/c*(1+v*v1/c²)

Also:

V2=(v+v1)/(1+v*v1/c²)

 

[Kommentare (0) | Kommentar erstellen | Permalink]