Relativistische Addition aus Matrizenmultiplikation
Von gkemme, 23:05

Die "Relativistische Addition" stellt eine Verknüpfung dar, die aus zwei LTs eine neue mit denselben Eigenschaften macht, wobei sich die Geschwindigkeit entsprechend ändert.

Diese Verknüpfung kann auch durch eine Matrizenmultiplikation realisiert werden.

 Die Übertragung von Abständen aus einem Bezugssystem in ein anderes per LT wird meistens so veranschaulicht:

In einem Ruhesystem BS wird ein Abstand mit x gemessen. In BS bewegt sich ein Bezugssystem BS' mit der Geschwindigkeit v und misst in diesem System den Abstand mit x'. Bei der Verknüpfung von LTs stellt man sich nunmehr ein weiteres Bezugssystem BS'' vor, welches sich mit der Geschwindigkeit v1 in BS' bewegt.

Will man jetzt die Geschwindigkeit v2 finden, mit welchem sich BS'' im Ruhesystem BS bewegt, so kann man die Formel wie folgt herleiten:

 

L: (c*t,x) -> L(v)=(c*t‘,x‘)=2x2-Matrix_LT(v)*(c*t,x)

L1: (c*t',x') -> L(v1)=(c*t‘',x‘')=2x2-Matrix_LT(v1)*(c*t',x')

 

Nach Einsetzung ergibt sich:

 L2: (c*t,x) -> L(v2)= 2x2-Matrix_LT(v1)*2x2-Matrix_LT(v)*(c*t,x)

Die konkrete Matrizenmultiplikation :

 

 

C*t’’=Y*Y1*(1+ß*ß1)*c*t-Y*Y1*(ß+ß1)*x

X’’=-Y*Y1*(ß+ß1)*c*t+Y*Y1*(1+ß*ß1)*x

 

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend Y2 und Y2*ß per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden.

c*t''= y2*c*t-y2*ß2*x

x''=-y2*ß2*c*t+y2*x

Somit würde dann gelten:

Y2*ß2=Y*Y1*ß+Y*Y1*ß1=Y*Y1*(ß+ß1)

Y2=Y*Y1+Y*Y1*ß*ß1=Y*Y1*(1+ß*ß1)

Bildet man den Quotienten:

Y2*ß2/Y2=ß2=Y*Y1*(ß+ß1)/Y*Y1*(1+ß*ß1)=(ß+ß1)/(1+ß*ß1)

Somit:

V2/c=(v/c+v1/c)/(1+v/c*v1/c)=(v+v1)/c*(1+v*v1/c²)

Also:

V2=(v+v1)/(1+v*v1/c²)

 

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Matrizenmultiplikation
Von gkemme, 21:58

Grundlagen Matrizen-Multiplikation

Schreibweise:
 (Zeilenzahl, Spaltenzahl)-Matrix_A,
somit
(m, n)-Matrix_A oder (n, p)-Matrix_B

Voraussetzung ist, dass Spaltenzahl des ersten Faktors gleich Zeilenzahl des zweiten Faktors:
(m, n)-Matrix_A * (n, p)-Matrix_B = (m, p)-Matrix_C
 


Die Multiplikation ist möglich, wenn die Spaltenzahl des ersten  Faktors gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors ist. In diesem Fall also
2x2-Matrix * 2x1-Matrix = 2x1-Matrix'

Der Algorithmus wird wie folgt angewendet:



Somit erhält man:

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Lorentztransformation in Matrizendarstellung
Von gkemme, 13:44

Schreibweise als Gleichungssystem:

t'=t/sqrt(1-v²/c²) - v/c²*x/sqrt(1-v²/c²)
x'=-v*t/sqrt(1-v²/c²)+x/sqrt(1-v²/c²)
y'=y
z'=z

Schreibweise als Gleichungssystem mit c*t:

c*t'=c*t/sqrt(1-v²/c²) - v/c*x/sqrt(1-v²/c²)
x'=-v/c*c*t/sqrt(1-v²/c²)+x/sqrt(1-v²/c²)
y'=y
z'=z

Schreibweise mit gamma=Y=1/sqrt(1-v²/c²) und Beta=ß=v/c:

c*t'= y*c*t-y*ß*x
x'=-y*ß*c*t+y*x
y'=y
z'=z

Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT von R^4 nach R^4, welche den Spaltenvektor (c*t,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z') abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4x4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor (c*t,x,y,z), d.h. einer 4x1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z'), d.h. einer 4x1-Matrix, entspricht.

Somit:

LT: R^4 -> R^4
(c*t,x,y,z) -> (c*t‘,x‘,y‘,z‘)=4x4-Matrix_LT*(c*t,x,y,z)

Die 4x4-Matrix_LT:




Im nachfolgenden wird nur noch mit R^2 gearbeitet, um die Rechnungen darstellbar zu machen:

Schreibweise mit gamma=Y=1/sqrt(1-v²/c²) und Beta=ß=v/c:

c*t'= y*c*t-y*ß*x
x'=-y*ß*c*t+y*x

LT: R^2 -> R^2
(c*t,x) -> (c*t‘,x‘)=2x2-Matrix_LT*(c*t,x)

Die 2x2-Matrix_LT:

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